Hallo und herzlich willkommen zu der Vorlesung Mathematik für Physikstudierende C.

Wir sind am Endspurt Funktionentheorie.

Wir haben letzte Woche eingeführt, was Holomorphie von Funktion bedeutet, was im Endeffekt komplexe

Differenzierbarkeit ist.

Und wir wollen uns heute als Gegenstück das Integral anschauen, also was Integration

über komplexe Funktionen bedeutet.

Das ganze Kapitel heißt, der ganze Abschied heißt Weg Integrale.

Und wir haben bei den Holomorphenfunktionen schon gesehen, dass die Änderungen zu den

klassischen Begriffen durch den Definitionsbereich kommen.

Das heißt, nicht unbedingt nur dadurch, dass wir einen komplexen Bildbereich haben, sondern

das Problem ist eher, oder die Änderung, dass wir einen komplexen Definitionsbereich

haben.

Denn für eine Funktion g von a b nach c, wobei a b jetzt ein reales Intervall ist,

da können wir den ganz normalen Integrationsbegriff nehmen, indem wir einfach auf den realen

und imaginären Teil aufspalten.

Das ist kein Problem.

Das war genauso bei der Differenzation.

Wenn wir eine Funktion haben von a b nach c, dann können wir einfach den klassischen

Ableitungsbegriff verwenden.

Der Unterschied kommt erst immer rein, wenn wir als Definitionsmenge auch c benutzen.

Also schauen wir uns das an, für g ist eine Funktion a b nach c, da benutzen wir jetzt

hier den Riemann-Integralbegriff.

Der ist in dem Fall genug für die Theorie.

Wir haben jetzt viel Zeit mit dem Lebesque-Integral verbracht.

Hier reicht jetzt der Riemann-Integrationsbegriff.

Und zwar definieren wir das Integral von a bis b über g von t dt über einmal das Integral

a b über den Realteil von g.

Das ist ja ein ganz normales Integral im Reellen dann, weil der Realteil ist eine reelle Funktion.

Jetzt ziehen wir den Imaginärteil, die imaginäre Einheit raus, das Integral über a b Imaginärteil

von g von t dt.

Was passiert hier einfach?

Im Endeffekt, wenn wir eine Funktion g wieder auffassen, c ist ja mehr oder weniger R2 hier

und dadurch können wir das einfach auffassen als Komponentenweise Integration.

Als wir eine Vektorwertige Funktion einfach Komponentenweise integrieren.

Das ist genau das, was hier passiert.

Und jetzt ist die Frage, nachdem wir gesehen haben, dass das so einfach funktioniert für

eine Funktion g, wie wir jetzt eine Funktion f, die als Definitionsmenge auch c hat, integrieren.

Da können wir den Trick nicht einfach machen, weil da haben wir mehr Variable, die variieren.

Heißt, da müssen wir uns anstrengen.

Und damit wir das tun können, werden wir uns auf sogenannte Wege zurückziehen.

Und das schauen wir uns im Folgenden an.

Definition.

Eine Abbildung.

Gamma nennen wir die jetzt immer.

Von a, b in die komplexen Zahlen.

Das ist jetzt so eine Funktion, die einfach nur ein reales Intervall als Definitionsmenge

hat.

Heißt, das ist der Begriff Weg.

Und das ist ganz einfach, falls sie stetig ist.

Okay, also ganz einfach.